【導(dǎo)讀】在封裝開發(fā)中，如何正確使用數(shù)據(jù)表的熱特性參數(shù)以做出設(shè)計(jì)決策經(jīng)常存在一定的誤區(qū)。之前我們討論了穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)的解讀與多輸入瞬態(tài)模型，今天我們將繼續(xù)分析各種模型下的瞬態(tài)響應(yīng)。
多結(jié)器件和瞬態(tài)響應(yīng)
上一部分中提到了多輸入瞬態(tài)模型。正如熱系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)描述一樣，也可以構(gòu)建多結(jié)器件的瞬態(tài)描述。如果遵循矩陣方法，唯一區(qū)別是矩陣的每個(gè)元素都是時(shí)間的函數(shù)。對于器件中的每個(gè)熱源，都會有一條“自發(fā)熱”瞬態(tài)響應(yīng)曲線；對于系統(tǒng)中的每個(gè)其他關(guān)注點(diǎn)，都會存在一條“相互作用”瞬態(tài)響應(yīng)曲線。
在同樣的限制性假設(shè)的約束下，線性疊加和互易原理仍然適用。也就是說，系統(tǒng)中任何一點(diǎn)的時(shí)變響應(yīng)都可以被視為其對每個(gè)獨(dú)立熱源的響應(yīng)的線性疊加，就好像每個(gè)熱源都是單獨(dú)供電的，并且獨(dú)立于其他熱源。此外，互易定理的不太直觀的真實(shí)性適用于時(shí)域：也就是，網(wǎng)絡(luò)中點(diǎn)“A”處的（恒定）熱量輸入在點(diǎn)“B”處引起的瞬態(tài)響應(yīng)，與點(diǎn)“B”處施加的相同量熱輸入在點(diǎn)“A”處引起的瞬態(tài)響應(yīng)完全相同。因此，在矩陣描述中，關(guān)于主對角線的對稱性仍將存在。互易定理的最大影響也許體現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)上：實(shí)際上，只需要測量所有可能相互作用熱瞬態(tài)響應(yīng)的一半就行。
電路仿真器
描述 Cauer 模型的數(shù)學(xué)響應(yīng)所需的代數(shù)非常麻煩，若沒有電路仿真器，這種模型幾乎沒有用處。因此，如果只有 Cauer 模型可用的話，那么電路仿真器是必不可少的。當(dāng)然，如果有電路仿真器，電路就是電路，因此很明顯，Cauer 階梯和 Foster 階梯可以同樣容易地進(jìn)行分析。事實(shí)上，對于單輸入網(wǎng)絡(luò)，整體方法并無區(qū)別，只是網(wǎng)絡(luò)連接和元素值等細(xì)節(jié)有區(qū)別。
對于多輸入網(wǎng)絡(luò)，Cauer 網(wǎng)絡(luò)非常簡單（參見圖 9）?；叵胍幌?，Cauer 網(wǎng)絡(luò)是在具有物理意義的某些前提下導(dǎo)出的，各種可能的熱源之間的相互作用會被構(gòu)建到網(wǎng)絡(luò)本身的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中。對于每個(gè)熱源的熱量輸入，將有電阻和電容“自動”提供正確的相互作用響應(yīng)；互易和疊加是該方法的必然結(jié)果。只需將接地電容 Cauer 模型以及原理圖中明示的所有節(jié)點(diǎn)和互連輸入仿真器，任務(wù)就完成了。
圖 9. 在電路仿真器中實(shí)現(xiàn)多輸入 Cauer 網(wǎng)絡(luò)
多源 Foster 模型在電路仿真器中的實(shí)現(xiàn)更加復(fù)雜，具體如何完成將取決于可用仿真器的特性。Foster 模型不過是瞬態(tài)響應(yīng)曲線的數(shù)學(xué)擬合示意圖，因此特定“自發(fā)熱”Foster 階梯中的電阻和電容不會與任何相互作用網(wǎng)絡(luò)中的電阻和電容相關(guān)；即使我們可能知道兩個(gè)熱源之間有許多潛在的共同熱路徑，這兩個(gè)熱源的自發(fā)熱 Foster 階梯元件之間也不會有任何相關(guān)性。此外，根據(jù) Foster 階梯的推導(dǎo)方式，甚至模型中各種曲線的時(shí)間常數(shù)也可能不一致！同樣，根據(jù) Foster 階梯的推導(dǎo)方式，甚至可能存在“負(fù)”幅度。顯然，如果 Foster 表示中出現(xiàn)負(fù)幅度，電路仿真器必須允許負(fù)電阻。或者，仿真器必須提供一種編程方法，以從一個(gè)節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)中減去另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)，從而從正子電路構(gòu)造負(fù)貢獻(xiàn)。類似地，為了在電路仿真器中實(shí)現(xiàn)多輸入 Foster 模型，必須小心地故意創(chuàng)建“求和”節(jié)點(diǎn)，以在整體模型的各個(gè)原本獨(dú)立的自發(fā)熱和相互作用加熱部分之間實(shí)現(xiàn)線性疊加原理。如果電路仿真工具不能提供足夠的功能來完成這些任務(wù)，基于電子表格的實(shí)現(xiàn)方案將是最佳的替代選擇。圖 10 顯示了可能的步驟。
圖 10. 在電路仿真器中實(shí)現(xiàn)多輸入 Foster 網(wǎng)絡(luò)
電子表格模型
如前所述，Cauer 模型基本上需要一個(gè)電路仿真器，甚至單輸入模型也需要。然而，對于 Foster 階梯，電子表格工具可以方便地實(shí)現(xiàn)單輸入和多輸入模型。這因?yàn)?Foster 模型在數(shù)學(xué)上非常簡單，電子表格可以毫不費(fèi)力地引入疊加。例如，考慮一下用 Microsoft Excel 編寫單輸入 Foster 階梯的恒定功率瞬態(tài)響應(yīng)的簡便性。假設(shè)將如下含義賦予電子表格中的某些單元格：
單元格 A1 是功率水平
單元格 B1:B10 是幅度
單元格 C1:C10 是時(shí)間常數(shù)（其中 C1 是 B1 幅度對應(yīng)的時(shí)間常數(shù)，以此類推）
單元格 D1 是恒定功率步進(jìn)開始后的時(shí)間
那么計(jì)算時(shí)間 D1 時(shí)的溫升的 Excel 公式為：
雖然沒有必要，但也可以注意到，通過使用 Excel 的名稱功能和明智地使用絕對引用與相對引用表示法，我們可以使該公式更容易記憶，并且易于復(fù)制到不同位置，以便計(jì)算許多不同時(shí)間的結(jié)果。修改前面的例子；用 Foster 型幅度和 tau 表示的單脈沖發(fā)熱曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：
（公式23）
定義名稱
功率 $A$1
幅度 $B$1:$B$10
tau $C$1:$C$10
時(shí)間 D1
現(xiàn)在我們可以使用更具可讀性的公式：
例如，如果該公式被輸入單元格 E1，則可以將其復(fù)制到單元格 E2 至 E100，從而產(chǎn)生單元格 D2 至 D100 中每個(gè)時(shí)間的時(shí)間響應(yīng)。還可以利用 Excel 的表格功能，從單個(gè)公式創(chuàng)建一個(gè)包含許多值的表格 4。
由于引入了時(shí)變功率輸入，并且引入了多個(gè)熱源，情況顯然變得更加復(fù)雜，但對于數(shù)量相對有限的輸入和時(shí)間步進(jìn)，這仍然是可管理的。方法已在前面說明（圖 3 給出了示例），但有以下調(diào)整：(1) 任何關(guān)注點(diǎn)處的溫度是都是全部熱源在該點(diǎn)引起的響應(yīng)的疊加；(2) 每當(dāng)任何熱源的功率輸入改變時(shí)，必須創(chuàng)建一個(gè)新的時(shí)間“步進(jìn)”，哪怕在該時(shí)刻所討論的點(diǎn)的功率沒有變化。
RC 模型和短時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)
對于那些不熟悉 Excel 中“數(shù)組”公式的人來說，前面的示例用緊湊的表示法完成了一些非常強(qiáng)大的運(yùn)算。首先，數(shù)組語法本身的使用告訴 Excel 依次對范圍中的每個(gè)單元格執(zhí)行相同的計(jì)算；由于在所識別的兩個(gè)數(shù)組中每一個(gè)數(shù)組有 10 個(gè)單元格，因此產(chǎn)生 10 個(gè)并行計(jì)算結(jié)果。這意味著代表 10 個(gè)幅度和時(shí)間常數(shù)的 10 個(gè)不同項(xiàng)是一起計(jì)算。其次，公式周圍的大括號 {} 表示公式實(shí)際上是用 Ctrl-Shift-Enter 按鍵輸入電子表格的，而不是普通的 Enter 按鍵。這告訴 Excel，我們希望它返回所有可用的數(shù)組結(jié)果，無論分配給公式的單元格有多少。然而，這里不需要單獨(dú)查看所有 10 個(gè)結(jié)果，但是我們?nèi)匀幌ＭL問所有結(jié)果，即使只有一個(gè)單元格是公式結(jié)果的目標(biāo)。因此，最后我們使用 SUM 函數(shù)來告訴 Excel 將這 10 個(gè)單獨(dú)的結(jié)果相加，而不是只報(bào)告我們?yōu)楣轿恢眠x擇的單個(gè)單元格中的第一個(gè)結(jié)果。
可以在數(shù)學(xué)上證明，當(dāng)時(shí)間尺度短于其最快時(shí)間常數(shù)時(shí)，RC 模型的瞬態(tài)響應(yīng)將變成與時(shí)間成比例。如果 (1) 關(guān)注的時(shí)間尺度略大于最快時(shí)間常數(shù)，或者 (2) 已知隨時(shí)間的線性響應(yīng)對于所考慮的系統(tǒng)是合適的，這將不是問題。然而，正如隨后將討論的，對于許多半導(dǎo)體器件，存在一個(gè)時(shí)間范圍，在該范圍內(nèi)“表面發(fā)熱”的概念非常接近真實(shí)的熱物理。在表面發(fā)熱中，器件瞬態(tài)響應(yīng)與時(shí)間的平方根成正比，而不是與時(shí)間呈線性關(guān)系?，F(xiàn)在，一個(gè)正確構(gòu)建的 RC 模型能夠以極高的精度遵循這種平方根行為，但僅針對大于模型最短時(shí)間常數(shù)的時(shí)間尺度。因此，只要使用 RC 模型，就必須考慮最短時(shí)間常數(shù)是否足夠快以滿足分析的需要。對于 Foster 階梯，最快時(shí)間常數(shù)是確切知道的。對于 Cauer 階梯，可以類似方式獲得對最快時(shí)間常數(shù)的良好估計(jì)，即最接近結(jié)的 RC 對的乘積。在任何情況下，如果最短合法時(shí)間常數(shù)不小于目標(biāo)最短時(shí)間尺度，尤其是在微秒到毫秒的時(shí)間尺度上，那么在解釋 RC 模型結(jié)果時(shí)應(yīng)格外小心。當(dāng)平方根模型合適時(shí)，如果使用線性模型，則由該模型預(yù)測的溫度變化會發(fā)生得太慢，這可能導(dǎo)致嚴(yán)重低估最高結(jié)溫。
考慮到這一點(diǎn)，下表列出了相同 D2pak 器件在兩個(gè)不同熱測試板上的 RC 模型。對于每個(gè)測試板，下表同時(shí)給出了 Cauer 網(wǎng)絡(luò)和 Foster 網(wǎng)絡(luò)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，這些 Foster 網(wǎng)絡(luò)實(shí)際上是相應(yīng) Cauer 網(wǎng)絡(luò)的精確數(shù)學(xué)等價(jià)物。通過下表可以明白前面討論中涉及的許多概念。
表 1. RC 網(wǎng)絡(luò)（“R”值單位為°C/W；“C”值單位為 J/C；“tau”單位為秒）
注意：粗體元素代表網(wǎng)絡(luò)中與封裝最密切相關(guān)的部分；其余元素代表環(huán)境。按時(shí)間常數(shù)的升序列出的 Foster 梯級提供了一個(gè)粗略但不完美的等價(jià)模型，因?yàn)榭焖夙憫?yīng)梯級必然會對曲線的短時(shí)間（因此封裝）部分產(chǎn)生最顯著的貢獻(xiàn)。然而，正如前面所強(qiáng)調(diào)的，F(xiàn)oster 梯級內(nèi)節(jié)點(diǎn)的確切位置沒有直接的物理意義，與 Cauer 電阻的任何表面相關(guān)性純屬巧合。
第一，這些網(wǎng)絡(luò)的最快時(shí)間常數(shù)是 2.98E-7 s（在 Foster Tau 列中精確給出）。此值的近似值是 Cauer 網(wǎng)絡(luò)中最靠近結(jié)的 RC 乘積，即 C_C1 乘以 R_R1，結(jié)果為 3.66E-7 s。第二，為方便起見，F(xiàn)oster 階梯的梯級按時(shí)間常數(shù)的升序列出，但很明顯，其 R 與 Cauer 網(wǎng)絡(luò)的“相應(yīng)”梯級的 R 沒有很好的相關(guān)性。第三，從階梯的短時(shí)間末端開始，兩個(gè)測試板的模型相同。也就是說，對于單脈沖發(fā)熱響應(yīng)，一開始只有封裝重要，經(jīng)過一段時(shí)間后，熱量才開始從封裝傳入測試板，環(huán)境才會影響響應(yīng)。
圖 11. 基本方波
使用 Foster RC 模型的周期波形
上面已經(jīng)討論了方波占空比曲線，它們通常由前面的簡單公式 22 得出。然而，給定單脈沖瞬態(tài)曲線的 RC 模型（特別是幅度/時(shí)間常數(shù) Foster 表達(dá)式），可以推導(dǎo)出無限列等方脈沖的精確閉合形式解。我們將簡單給出其中的幾個(gè)解，并說明如何應(yīng)用它們（參見 AND8219/D）。給定 n 級 RC 模型的單脈沖發(fā)熱曲線公式，如公式 23 所示，我們得到以下結(jié)果：
占空比 d、開啟時(shí)間 a 的簡單方波列的波峰 （公式24）
簡單周期方波列的波谷 （公式25）
注意，波形的開啟時(shí)間、周期和占空比通過等式 a = p·d 相聯(lián)系。當(dāng)將開啟時(shí)間繪制在 x 軸上，占空比用作曲線參數(shù)時(shí)，公式 24 產(chǎn)生之前在圖 5 中看到的占空比曲線族，其基于擬合原始 R(t) 單脈沖發(fā)熱曲線的 Foster RC 電阻模型。事實(shí)上，如果 RC 模型擬合良好，則從等式 24 導(dǎo)出的占空比曲線將比從更近似的公式 22 導(dǎo)出的曲線更精確（可能的例外是，如果占空比值非常小，并且開啟時(shí)間小于最小 RC 時(shí)間常數(shù)，我們可能面臨與前面討論的時(shí)間平方根相關(guān)的相同限制）。
當(dāng)重復(fù)單個(gè)脈沖時(shí)（圖 11），很明顯，波峰出現(xiàn)在“開啟”時(shí)間的末端，波谷出現(xiàn)在“關(guān)閉”時(shí)間的末端（即每個(gè)“開啟”時(shí)間的開始處）。此外，當(dāng)僅重復(fù)單個(gè)方脈沖時(shí)，如果只關(guān)心波峰和波谷，則脈沖在周期內(nèi)的位置并不重要。事實(shí)上，為方便起見，前面的這些公式是在假設(shè)每個(gè)脈沖的“開啟”時(shí)間從每個(gè)周期的開端開始的情況下推導(dǎo)出來的。
然而，如果我們對這個(gè)問題稍作拓展，并允許單個(gè)方脈沖位于周期內(nèi)的任意點(diǎn)，那么可以推導(dǎo)出一些更強(qiáng)大的公式。對于以下公式，圖 12 定義了周期長度 p 內(nèi)廣義方脈沖的參數(shù)。所有時(shí)間都是相對于一個(gè)周期的開始。
圖 12. 廣義方波
經(jīng)過無限次相同周期后，以下三個(gè)公式描述了所示范圍對應(yīng)的溫度響應(yīng)形狀：
良好（可計(jì)算）僅適用于 0 ≤ t < b （公式26）
良好（可計(jì)算）僅適用于 b ≤ t < a （公式27）
注：如果 t = 0 且 b = 0，就得到公式 25
對 0 ≤ t ≤ p 良好（可計(jì)算）僅適用于 t > a （公式28）
注：如果 t = a 且 b = 0，就得到公式 24
對于這些公式，“可計(jì)算性”限制是一個(gè)實(shí)際問題，當(dāng)正自變量出現(xiàn)在各種分子的指數(shù)項(xiàng)中時(shí)就會出現(xiàn)。還要注意，這些公式描述了響應(yīng)曲線，但尚未考慮所施加脈沖的功率水平。我們將關(guān)于脈沖功率的考慮推遲到下面的公式中，它現(xiàn)在表示了以相同頻率出現(xiàn)的任意數(shù)量方脈沖的完全一般化疊加，所有方脈沖都位于時(shí)間段 p 的相同周期內(nèi)：
（公式29）
現(xiàn)在，假設(shè)我們將周期分解為一系列方邊脈沖——此過程已在前面的非周期波形示例中說明，那么公式 29 允許我們預(yù)測任何復(fù)雜周期性功率的“穩(wěn)態(tài)”瞬態(tài)行為?！胺€(wěn)態(tài)”瞬態(tài)響應(yīng)指的是在無限多次相同周期發(fā)生后，一個(gè)典型周期的溫度響應(yīng)曲線的形狀?，F(xiàn)在必須強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：在不知道曲線細(xì)節(jié)的情況下，無限重復(fù)單脈沖的“峰值”和“谷值”溫度是可以預(yù)測的（即公式 24、25），但這對于一般的周期波形是不可能的，即使該波形是幾個(gè)方形子脈沖的相對簡單的組合也不行?？紤]以下示例，將圖 13 的周期性功率輸入應(yīng)用于表 4 給出的 RC 模型。
表 2. 3 脈沖示例的 RC 模型
圖 13. 3-脈沖周期性輸入
三個(gè)獨(dú)立方脈沖構(gòu)成重復(fù)模式，將公式 26、27 和 28 應(yīng)用于各脈沖的相應(yīng)部分，并應(yīng)用公式 29 來計(jì)算其疊加效應(yīng)，我們得到以下溫度響應(yīng)：
圖 14. 3-脈沖周期示例穩(wěn)態(tài)瞬態(tài)響應(yīng)
讓這個(gè)例子特別有意思的是，峰值溫度出現(xiàn)在第二脈沖的末端，該脈沖的功率較低，甚至在它與該周期中緊接在它之前的較高功率脈沖之間有一個(gè)零功率的小間隙。由于知道單脈沖響應(yīng)與功率成正比，并且峰值溫度總是出現(xiàn)在方脈沖的末尾，人們可能很容易忽略這里展示的可能性。換句話說，對于廣義周期波形，即使它僅由少量方形子分量構(gòu)成，人們也能很好地計(jì)算整個(gè)周期范圍內(nèi)的響應(yīng)，而不僅僅是一些“明顯”點(diǎn)的響應(yīng)。
表面發(fā)熱、時(shí)間平方根和短時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)
在大多數(shù)熱瞬態(tài)測試中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最早可在 1E-5 s（10 微秒）時(shí)獲取。但在大多數(shù)情況下，由于電氣開關(guān)瞬變，測試器件的數(shù)據(jù)獲取時(shí)間是不一致的，最晚可達(dá) 1E-3 s。即使測量一致性出現(xiàn)在更早時(shí)間，但在 1E-4 s 之前的時(shí)間，結(jié)果也很少可靠。事實(shí)上，與預(yù)期理論行為相對應(yīng)的測量信號通常要到 3E-4 s 和 1E-3 s 之間才會出現(xiàn)。導(dǎo)致這種相關(guān)性的因素主要有兩個(gè)：器件中的電瞬態(tài)效應(yīng)和芯片幾何效應(yīng)。
更具體而言，芯片厚度和實(shí)際有效受熱面積會影響理論行為。對于短時(shí)熱瞬態(tài)行為，最簡單的常用理論是表面發(fā)熱模型。它假設(shè)恒定功率、一維熱流，產(chǎn)生的結(jié)果是表面溫升與發(fā)熱時(shí)間的平方根成比例。
正因如此，它常被稱為“sqrt(t)”發(fā)熱。sqrt(t) 發(fā)熱的一個(gè)重要方面是，在對數(shù)-對數(shù)圖上（參見圖 2），這種發(fā)熱“曲線”是一條直線，時(shí)間每增加 100 倍，溫度（或熱阻）上升 10 倍（sqrt(t) 正是由此而來）。因此，在對數(shù)-對數(shù)圖上，它顯示為 1:2 的斜率。這條理論直線的垂直位置由受熱面積、芯片的材料特性以及與芯片受熱表面鄰接的材料決定。同樣根據(jù) sqrt(t) 理論，芯片越薄，熱量越快到達(dá)硅的背面，然后便不再遵循 sqrt(t) 模型；因此，一半厚度的芯片將在四分之一的時(shí)間內(nèi)結(jié)束其 sqrt(t) 行為。通常，我們認(rèn)為對于 15 mil（380 微米）厚的芯片，理論行為應(yīng)該持續(xù)到大約 1E-3 s，但是當(dāng)厚度小到 10 mil（250 微米）時(shí)，理論行為將僅持續(xù) 4E-4 s；對于 7 mil（180 微米）厚的芯片，sqrt(t) 只能持續(xù) 2E-4 s。芯片厚度還與瞬態(tài)行為的另一“極端特性”直接相關(guān)，即達(dá)到局部穩(wěn)態(tài)需要多長時(shí)間。在所有其他條件相同的情況下，15 mil 芯片達(dá)到局部穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間應(yīng)該不超過 2.5E-3 s，7 mil 芯片所需時(shí)間應(yīng)該不超過 5E-4 s。
另一方面，集總參數(shù) RC 模型由于描述其行為的方程的指數(shù)性質(zhì)，在接近最短時(shí)間時(shí)總是變成與時(shí)間呈線性關(guān)系。因此，如果時(shí)間小于最短時(shí)間常數(shù)，RC 模型必定無法近似模擬 sqrt(t) 行為。正如前面所討論的，如果已知 sqrt(t) 行為是實(shí)際行為的合理近似，但 RC 時(shí)間常數(shù)不是以低于該范圍的值開始，那么應(yīng)將 sqrt(t) 模型直接用于短脈沖溫度估計(jì)，否則將導(dǎo)致溫度變化被嚴(yán)重低估。
下面的表格提供了對一維表面發(fā)熱估計(jì)有用的定義和公式，以及半導(dǎo)體封裝方面的一些典型材料特性值。
表 3. 一維表面發(fā)熱公式和定義
其中：
表 4. 短時(shí)熱響應(yīng)的材料特性
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